Soal Hukum Gravitasi Newton dan Pembahasan

1. Apa pengaruh ketinggian terhadap percepatan gravitasi? Apakah berbanding terbalik?

Pembahasan :

Berlaku rumus percepatan gravitasi

g = G M/R²

dimana,

g = percepatan gravitasi

G = konstanta gravitasi

M = Massa benda

R = jarak atau ketinggian

Dari rumus tersebut dapat dikatakan bahwa pengaruh ketinggian terhadap percepatan gravitasi berbanding terbalik.

2. Di daerah khatulistiwa, benda yang massanya 1 kg memiliki berat 9,8 Newton. Jika diketahui percepatan gravitasi di daerah kutub 10% lebih besar dibandingkan dengan di daerah khatulistiwa, massa dan berat benda di kutub menjadi ... (satuan dalam kg dan N)

Pembahasan :

Di khatulistiwa

massa, m₁ = 1 kg
berat, w₁ = 9,8 N 

Di kutub

massa, m2 = ?

berat, w2 = ?

Massa benda selalu sama di berbagai tempat, meskipun berbeda tempat tidak akan berubah massanya, namun untuk berat akan berubah karena berat berhubungan dengan percepatan gravitasi. 

Maka, massa benda di kutub

m2 = m₁= 1 kg

Berat benda di kutub

w2 = w₁ + (10% .w₁)

w2 = 9,8 + (10% .9,8)

w2 = 10,78 N

Dengan demikian, massa dan berat benda di kutub menjadi 1 kg dan 10,78 N.

3. Benda A bermassa 4m dan benda B bermassa 9m. Keduanya terpisah sejauh 5a. Benda C terletak di antara benda A dan benda B dengan massa m. Jika gaya gravitasi pada benda C sama dengan nol, jarak antara benda A dan benda C sejauh . . .

Pembahasan :

massa A, mA = 4m

massa B, mB = 9m

massa C, mC = m (tengah)

jarak A-B, rAB = 5a

jarak A-C, rA = x

jarak B-C, rB = 5a - x

gaya gravitasi benda C, Fc =0 

jarak A-C, rA =?

Gaya gravitasi adalah gaya tarik-menarik yang terjadi antara semua partikel yang memiliki massa atau bobot di semesta. Karena gaya gravitasi di benda C sama dengan nol, maka besar gaya FAC dan FBD akan sama.

Agar gaya yang dialami benda C adalah nol, maka berlaku

 Fac = Fbc

k.mA.mC/rA² = k.mB.mC/rB²

4m/x² = 9m/(5a - x)²

√(4m/x²) = √(9m/(5a - x)²)

2/x = 3/(5a - x)

3x = 10a - 2x

5x = 10a

x = 2a

4. Perbandingan antara massa planet A dan B adalah 8 : 7, sedangkan perbandingan antara jari-jari kedua planet tersebut adalah 4 : 3. Perbandingan percepatan gravitasi antara planet A dan B adalah.....

Pembahasan:

Perbandingan massa, mA/mB = 8/7 

Perbandingan jari-jari, Ra/Rb = 4/3

Perbandingan percepatan gravitasi: 
gA/gB = (mA/mB)(Rb/Ra)²
gA/gB = (8/7)(3/4)²  
gA/gB = (8/7)(9/16) 
gA/gB = 9/14

5. Tiga meteoroid di ruang angkasa membentuk koordinat seperti pada gambar berikut :

Jarak antarmeteoroid sama, yaitu 2R. Massa ketiga meteoroid m1, m2, dan m3 berturut-turut 2M, 3M, dan 4M. Jika konstanta gravitasi umum sebesar G, gaya gravitasi pada meteoroid kedua dituliskan dalam persamaan…

Pembahasan:

m₁ = 2M

m2 = 3M

m3 = 4M

r₁.₂ = r₂.3 = r₁.3 =2R

Pertama hitung dulu gaya yang dialami benda m1 dgn m2 dan gaya yg dialami benda m2 dgn m3
F₁ = G.m₁.m₂/r₁²
  
F2 = G.m2.m3/r3²

Maka, besar gaya yang dialami benda m2 adalah
F = √(F1² + F2² + 2.F1.F2 cos 60°)
F1 = G(2M)(3M)/(2R)² = 3/2 GM²/R²
F2 = G(3M)(4M)/(2R)² = 3 GM²/R²

Misalkan GM²/R² = F
F2 = 2F1

F3 = √(F1² + (2F1)² + 2.F1(2F1) cos 60°)
F3 = √(F1² + 4F1² + 2F1²) 
F3 = √(7F1²) 
F3 = F1√7
F3 = 3/2 √7 GM²/R²

6. Black Hole adalah objek yang memiliki gaya gravitasi yang sangat kuat. Saking kuatnya gaya gravitasi yang dimiliki, cahaya tidak dapat lepas dari tarikan gravitasinya. Suatu ketika, alien dari suatu planet yang jauh, Marco ingin mengubah Bumi menjadi Black Hole untuk membalaskan dendam saudaranya Ralt. Berapa jari-jari minimum Bumi agar dapat menjadi Black Hole?

Pembahasan :

Jika Massa Bumi = 5,98 x 10²⁴ kg menjadi Black Hole, maka jari-jarinya adalah

R = 2.G.M/c²

R = 2(6,67.10⁻¹¹)(5,98 x 10²⁴)/(3.10⁸)²

R = 8,8 . 10⁻³ m

R = 8,8 mm

Apabila mengubah Bumi menjadi Black Hole, seluruh massa Bumi harus dipadatkan menjadi bola dengan jari-jari minimum 8,8 mm, seperti sebesar kelereng. Kecil sekali, namun mengandung seluruh massa Bumi.

7. Satelit geostasioner adalah satelit yang mengorbit bumi dengan periode orbit yang sama dengan periode rotasi Bumi. Hitunglah ketinggian orbit satelit tersebut dari permukaan Bumi! Hitung juga kecepatan orbit planet tersebut!

Pembahasan :

G = konstanta gravitasi umum = 6,67 x 10⁻¹¹ N m²/kg²

M = massa bumi = 5,97 x 10²⁴ kg

T = periode rotasi satelit = periode rotasi bumi

T = 24 jam = 24(3600 sekon) = 86.400 sekon = 8,64 x 10⁴ sekon

Rumus ketinggian satelit

r³ = G.M.T²/4π²

r³ = (6,67 x 10⁻¹¹)(5,97 x 10²⁴)(8,64 x 10⁴)²/4(3,14)²

r³ = 75,32 . 10²¹

r = 4,22 . 10⁷ m

r = 42200 km

Jika jari-jari bumi = 6,38 x 10⁶ meter = 6,38 x 10³ km = 6.380 km

maka ketinggian orbit satelit dari permukaan bumi adalah

= 42.200 km – 6.380 km

= 35.820 km

Kecepatan orbit satelit

v = √GM/r

v = √(6,67 . 10⁻¹¹)(5,97 . 10²⁴)/4,22 . 10⁷

v = 3070 m/s

8. Jika diketahui Bumi mengelilingi Matahari dengan jarak 1 SA dan dalam periode 1 tahun, hitunglah massa matahari dalam satuan M☉ dan kg!

Pembahasan :

jari-jari orbit bumi, rb = 1,5 . 10¹¹ m

periode bumi, Tb = 1 tahun = 3 . 10⁷ s

gaya matahari, Fg

gaya sentripetal bumi, Fs

Fg = Fs

G.M.mb/rb² = mb.vb²/rb

dimana vb = 2π.rb/Tb

sehingga,

G.M.mb/rb² = mb(4π.rb²/(Tb².rb)

M = 4π.rb³/(G.Tb²)

M = 4(3,14)²(1,5 . 10¹¹)³/(6,67 . 10⁻¹¹)(3.10⁷)²

M = 2 . 10³⁰ kg

Massa Matahari (M☉) adalah standar satuan massa pada astronomi yang digunakan untuk menunjukkan massa bintang lainya, cluster, nebula dan galaksi. Hal ini sama dengan massa Matahari, sekitar dua nonillion kilogram

M☉ =(1,98847±0,00007)×10³⁰ kg

9. Perbandingan jarak rata-rata antara planet Q dan planet R dari matahari adalah 4: 9. Jika periode revolusi planet Q 8 tahun Tentukan revolusi planet R!

Pembahasan:

Perbandingan jarak r_Q : r_R = 4:9

Periode revolusi T_Q = 8 tahun

Periode revolusi T_R =  ?

 

Berlaku Hukum Gravitasi III Newton

(T_Q/T_R)² = (r_Q/r_R)³

8²/T_R² = (4/9)³

T_R² = 8² (9/4)³

T_R = 8 (3/2)³

T_R = 27 tahun

 

Jadi, revolusi planet R adalah 27 tahun.

10. Sebuah satelit mengelilingi bumi pada orbit berbentuk lingkaran dengan jari-jari R dan mengalami kuat medan gravitasi g, agar kuat medan gravitasi menjadi setengahnya. Tentukan jari-jari orbit yang harus ditempati oleh satelit tersebut!

Pembahasan:

Jari-jari = R 

Kuat medan gravitasi = g

Kuat medan gravitasi akhir, g' = ½ g

Jari-jari akhir, r' = ?

 

Kuat medan gravitasi atau percepatan gravitasi adalah percepatan suatu benda yang disebabkan oleh gaya gravitasi dalam medan gravitasi tertentu. 

 

Secara matematis dirumuskan: g = GM/r² 

Keterangan: 

g = percepatan gravitasi (m/s² atau N/kg) 

M = massa benda (kg) 

G = konstanta gravitasi (6,672 x 10⁻¹¹ m³/kg.s²) 

r = jarak pusat kedua benda (m) 

 

Berdasarkan rumus di atas, percepatan gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Secara matematis dirumuskan:

 g'/g = (r/r')²

½g/g = r²/r'²

r'² = 2r²

r' = r√2

 

Jadi,  jari-jari orbit yang harus ditempati oleh satelit tersebut adalah r√2.

11. Sebuah benda bermassa 9 kg memiliki berat 90 N saat diukur pada permukaan bumi. Tentukan berat benda tersebut pada:

a. ketinggian 2R dari permukaan bumi (R=jari-jari bumi) 

b. permukaan sebuah planet yang massanya 2 kali massa bumi dengan jari-jarinya ½ jari-jari bumi

 

Pembahasan:

Massa bumi = M

Jari-jari bumi = R 

Massa benda di bumi, m_b = 9 kg

Berat benda di bumi, w_b = 90 N

Ketinggian, h = 2R

Massa planet, M_p = 2M

Jari-jari planet, R_p = (*ambigu? 1/2 jari 2kali bumi)

Berat di planet, w_p = ?

 

Berat adalah gaya gravitasi bumi yang bekerja pada suatu benda bermassa. 

Gaya berat dirumuskan sebagai: 

w = m.g

 

Percepatan gravitasi dirumuskan: 

g = G.m/r² 

 

dimana, 

w = berat (N)

m = massa benda (kg) 

g = percepatan gravitasi (m/s²)

G = konstanta gravitasi (6,672 x 10⁻¹¹ m³/kg.s²) 

r = jarak pusat kedua benda (m) 

 

Massa adalah besaran yang selalu tetap dimanapun berada di langit maupun di bumi. Sedangkan pada ketinggian yang berbeda, percepatan gravitasi akan berbeda juga. Oleh karena itu, disini perbedaan berat benda hanya dipengaruhi oleh percepatan gravitasi. Sehingga, dapat ditentukan dengan perbandingan:

w'/w = g'/g = (r/r')²

 

Jika ketinggian 2R dari permukaan bumi diperoleh berat benda:

w'/w = (r/r')²

w'/w = r²/(r + h)²

w'/90 = R²/(3R)²

w' = 90/9

w' = 10 N

12. (HOTS) Benda bermassa 10 kg dijatuhkan pada ketinggian 80 m di atas permukaan Bumi dan membutuhkan waktu 20 sekon untuk mencapai permukaan Bumi. Jika benda tersebut dijatuhkan pada ketingian yang sama pada permukaan suatu planet lain yang mempunyai massa 16 kali massa Bumi dan jari-jarinya 2 kali jari-jari Bumi, tentukan lama waktu yang diperlukan untuk sampai di permukaan planet tersebut.

Pembahasan:

Massa benda, mb = 10 kg

Ketinggian, h = 80 m

Waktu jatuh benda ke bumi, t = 20 sekon 

Massa bumi = M_B

Massa planet lain, Mp = 16M

Jari-jari planet lain, R_P = 2R

Percepatan gravitasi bumi, g_B = 10 m/s²

Waktu jatuh benda sampai ke planet lain, tp = ?

 

Kemudian, perlu tau konsepnya/rumusan 

Cari dulu besar gravitasi di planet lain

g_B/g_P = M_B/M_P x (R_p/R_B)²

10/g_P = M_B/16M_B x (2R_B/R_B)²

10/g_P = 4/16

g_P = 40 m/s²

 

Kemudian, cari waktunya dengan persamaan gerak vertikal

h = v_o t + ½ g_p t_p²

80 = 0 + ½(40)t_p²

t_p² = 4

t_p = 2 s

 

Jadi, lama waktu yang diperlukan benda sampai di permukaan planet tersebut adalah 2 sekon.

13. Dua satelit P dan Q mengorbit planet yang sama dengan jari-jari orbit masing-masing R dan 4R. Bila kecepatan orbit satelit Q adalah 50 m/s, hitunglah kecepatan orbit satelit P.

Pembahasan:

Jari-jari satelit P, R_P = R

Jari-jari satelit Q, R_Q = 4R

Kecepatan satelit Q, v_Q = 50 m/s

Kecepatan satelit P, v_P = ?

 

Kemudian, perlu tau konsepnya/rumusan kecepatan satelit

v = √(G.M/r)

 

Untuk menyelesaikan soal ini bisa dibuat perbandingan

v_Q/v_P = √(R_P/R_Q)

50/v_P = √(R/4R)

v_P = (50)(2)

v_P = 100 m/s

 

Jadi, kecepatan orbit satelit P adalah 100 m/s

Share :